已知函数f（x）=ln（2+3x）-[3/2]x2

解题思路：（1）先求导，求出[0，1]上的单调区间，再利用极值的定义即可得到．
（2）判断x∈[[1/6]，[1/3]]，ln[3/2+3x]∈[0，ln[6/5]]，只有当x=[1/3]时，ln[3/2+3x]=0，a=ln[1/3]，不等式不成立，其它都成立，即可得到a的取值范围；
（3）将f（x）=-2x+b转化为ln（2+3x）-[3/2]x²+2x-b=0，令φ（x）=ln（2+3x）-[3/2]x²+2x-b，用导数法求得其极值和端点值并比较其大小，由方程在[0，1]上恰有两个不同的实根判断即可得到b的范围．

（1）f′（x）=[3/2+3x]-3x=
−3(x+1)(3x−1)
2+3x，
当0≤x＜
1
3，f′（x）＞0，f（x）单调递增；[1/3]＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
故f（x）在区间[0，1]上有极大值f（[1/3]）=ln3-[1/6]；
（2）由|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0，∴x∈[[1/6]，[1/3]]，
则ln[3/2+3x]∈[0，ln[6/5]]，只有当x=[1/3]时，ln[3/2+3x]=0，
这时a=ln[1/3]，|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0不成立，
其它情况都成立，故a的取值范围是（-∞，-ln3）∪（-ln3，+∞）；
（3）由于f（x）=b-2x，则ln（2+3x）-[3/2]x²+2x-b=0，
令φ（x）=ln（2+3x）-[3/2]x²+2x-b，则φ′（x）=[3/2+3x]-3x+2=[7−9x/2+3x]，
当x∈[0，

7
3]时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增；当x∈[

7
3，1]时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减．
即有φ（

7
3）＞φ（0），φ（

7
3）＞φ（1），φ（0）=ln2-b．
φ（

7
3）=ln（2+
7）-[7/6]+
2
7
3-b＞0，φ（1）=ln5+[1/2]-b≤0，
则ln5+[1/2]≤b＜ln（2+
7）-[7/6]+
2
7
3．
即实数b的取值范围是[ln5+[1/2]，ln（2+
7）-[7/6]+
2
7
3）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．

考点点评： 本题主要考查运用导数求函数的单调区间和极值、最值，用函数法解决方程根的问题，属于中档题．