我是高数菜鸟,请教一个关于极限和界限的定理证明题.有些疑问请求指教

我是高数菜鸟,请教一个关于极限和界限的定理证明题.有些疑问请求指教
定理 若数列{ xn } 有极限,则{ xn }有界（n是下标）
证明 要证明：存在正数M,使得所有xn都满足不等式
|xn| ≤ M (n=1,2,………)
设 Lim xn =a 则由定义知道,对ε=1,存在正整数N,使得当n>N 时,有|xn -a| < 1,
n→∞
从而|xn|=|(xn-a)+a| ≤|(xn-a) |+|a|
取M=max{ 1+|a|, |x1|,|x2|,|x3|,… |xN|} 则不等式|xn| ≤ M 对一切正整数n 成立,即有 界 { xn }有界.
疑问1：ε一般情况下,不是无穷小吗,这里怎么设定为1?
疑问2：M=max{ 1+|a|, |x1|,|x2|,|x3|,… |xN|} 这个集合怎么来的?什么意思?为什么这样设?
更正：从而|xn|=|(xn-a)+a| ≤|(xn-a) |+|a| < 1+|a| 漏写< 1+|a| 了。
整个证明过程中，没发现设定为1 有什么作用。如果ε不设定为1，则xn -a|