求解一道线性代数证明题设向量组(1)α1,α2,…,αr;向量组(2)β1,β2,…,βr;其中αi=βi(i=1,2,

求解一道线性代数证明题
设向量组(1)α1,α2,…,αr;向量组(2)β1,β2,…,βr;
其中αi=βi(i=1,2,…,r-1);αr=λβr,λ≠0,
证明：向量组（1）线性无关的充分必要条件是向量组（2）线性无关
TinyLight 1年前 已收到3个回答 举报
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吹不散的枫 幼苗

共回答了23个问题采纳率：100% 举报

常规证法:
(=>)必要性.
设 k1β1+k2β2+…+kr-1βr-1+krβr=0
由已知 αi=βi(i=1,2,…,r-1);αr=λβr,λ≠0,
得:k1α1+k2α2+…+kr-1αr-1+(kr/λ)αr=0
而由 向量组(1)线性无关,所以 k1=k2=...=kr-1=kr/λ=0
所以 k1=k2=...=kr-1=kr=0
所以向量组(2)线性无关.
(

1年前

3

_麦芽糖_ 幼苗

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1)线性无关，我们考虑一组系数c1,c2,...,cr，使得
c1 β1 + c2 β2 +...+cr βr =0
也就是
c1 α1 + c2 α2 +...+cr λαr =0
由于1)线性无关，因此有c1 = c2 = ,,,=cr λ =0
由于λ≠0，因此可以得到c1 = c2 = ,,,=cr =0
因此2)线性无关
反方...

1年前

1

寒雨冰岩 幼苗

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向量组（1）线性无关
<=>不存在不全为0的k,k2,……,k(r)使得k1·α1+k2·α2+……+k(r)·αr = 0
<=>不存在不全为0的k1,k2,……,k(r)使得k1·β1+k2·β2+……+k(r)·λβr = 0，λ≠0
<=>不存在不全为0的k1,k2,……,k(r-1), λk(r)，λ≠0使得k1·β1+k2·β2++……+k(r-1)·β(r-1...

1年前

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