（2011•天津模拟）已知函数f（x）=（x2-3x+3）•ex．

（1）因为f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
要使函数f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0，
（2））①若-2＜t≤0，则f（x）在[-2，t]上单调递增，∴f（t）＞f（-2）；
②若0＜t＜1，则f（x）在[-2，0]上单调递增，在[0，t]上单调递减
又f（-2）=13e^-2，f（1）=e，∴f（t）≥f（1）＞f（-2）；
③若t＞1，则f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减
∴f（t）＞f（1）＞f（-2），
综上，f（t）＞f（-2）．
（3）证：∵
f′(x0)
ex0
＝x20−x0，∴
f′(x0)
ex0＝
2
3(t−1)2，即为x₀²-x₀=[2/3(t−1)2，
令g（x）=x²-x-
2
3(t−1)2，从而问题转化为证明方程g（x）=x2−x−
2
3(t−1)2=0在[-2，t]（1＜t＜4）上总有两个不同的解
因为g（-2）=6-
2
3]（t-1）²=-
2
3(t−4)(t+2)，g（t）=t（t-1）-
2
3(t−1)2=
1
3(t+2)(t−1)，
所以当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-
4
3(t−1)2＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解，

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题以函数为载体，考查利用导数确定函数的单调性，考查函数的极值，同时考查了方程解的个数问题，综合性强．