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花朵
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①设f(x)=C是一个“λ-伴随函数”,则(1+λ)C=0,当λ=-1时,可以取遍实数集,因此f(x)=0不是唯一一个常值“λ-伴随函数”,故①不正确;
②∵f(x)=x,∴f(x+λ)+λf(x)=x+λ+λx,当λ=-1时,f(x+λ)+λf(x)=-1≠0;λ≠-1时,f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解,∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立,∴(x)=x不是“λ-伴随函数”,故②正确;
③用反证法,假设f(x)=x 2 是一个“λ-伴随函数”,则(x+λ) 2 +λx 2 =0,即(1+λ)x 2 +2λx+λ 2 =0对任意实数x成立,所以λ+1=2λ=λ 2 =0,而此式无解,所以f(x)=x 2 不是一个“λ-伴随函数”,故③不正确;
④令x=0,得f(
1
2 )+
1
2 f(0)=0,所以f(
1
2 )=-
1
2 f(0)
若f(0)=0,显然f(x)=0有实数根;若f(0)≠0,f(
1
2 )•f(0)=-
1
2 (f(0))2<0.
又因为f(x)的函数图象是连续不断,所以f(x)在(0,
1
2 )上必有实数根.因此任意的“
1
2 -伴随函数”必有根,即任意“
1
2 -伴随函数”至少有一个零点,故④正确
故答案为:①③
1年前
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