如图，AB为⊙O直径，C为圆上任一点，作弦CD⊥AB，垂足为H．连接OC．

（1）∵CD⊥直径AB，
∴弧BD=弧BC（垂径定理），
∴∠BCD=∠A，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD；

（2）E为弧ADB的中点．
理由：∵CE平分∠OCD，
∴∠OCE=∠DCE，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠OEC=∠DCE，
∴OE∥CD，
又∵CD⊥AB∴OE⊥AB，
∴E为弧ADB的中点；

（3）当C在优弧ACE上，AC=CE时，∠CAE=67.5°，
当AC=AE时，∠CAE=90°，
当CE=AE时，∠CAE=45°，
当C在劣弧AE上，AC=CE时，∠CAE=22.5°．