如图（1）,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的AC边与x轴重合,且点A在原点,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=

(1)
D(1, 2), ⊙D: (x - 1)² + (y - 2)² = 4
开始时,A(0, 0), C(-2, 0)
tan∠BAC= tan60° = √3 = BC/AC = BC/2, BC = 2√3
B(-2, 2√3)
AB的斜率k = 2√3/(0 - 2) = -√3
当斜边AB与⊙D相切时, AB的方程: y = -√3x + b, √3x + y - b = 0
D与AB的距离等于圆半径2 = |√3 + 2 - b|/√4
b = 6 + √3 (舍去b = √3 - 2 < 0; 开始时AB: √3x + y = 0在y轴上的截距 = 0)
AB的方程: y = -√3x + 6 + √3
y = 0, x = 2√3 + 1
A(2√3 + 1, 0)


(2)
①
在旋转前, A(2, 0), B(0, 2√3)
AB的方程: x/2 + y/(2√3) = 1, y = √3(2 - x)
设A'B'上与F重合的点在旋转前为F‘(a, √3(2 - x))
OF' = OF = 2
a² - 3a + 2 = (a - 2)(a - 1) = 0
a = 2 (点A, 舍去)
a = 1, F'(1, √3)
tan∠FOF' = F'的横坐标/F'的纵坐标 = 1/√3
∠FOF' = ∠AOA' = 30°


②
OA'的斜率 = tan∠AOA' = tan30° = 1/√3
OA'的方程: y = x/√3
与AB的方程联立, M(3/2, √3/2)
A'(OAcos30°, OAsin30°), 即A'(√3, 1)
A'B'的斜率: (2 - 1)/(0 - √3)= -1/√3
A'B'的方程: y = -x/√3 + 2
与AB的方程联立,N(3 - √3. 3 - √3)
从N向轴做垂线(x = 3 - √3), 垂线与OA'交于P(3 - √3, √3 - 1)
该垂线将四边形分为左边的梯形OFNP和右边的三角形NPM
S = S1 + S2
= (1/2)(OF + PN)*N的横坐标 + (1/2)PN*PN上的高
= (1/2)(OF + N的纵坐标 - P的纵坐标)*N的横坐标 + (1/2)(N的纵坐标 - P的纵坐标)*(M的横坐标-N的横坐标)
= (1/2)(2 + 3 - √3 - √3 + 1)(3 - √3) + (1/2)(3 - √3 - √3 + 1)*(3/2 - 3 + √3)
= (1/2)(6 - 2√3)(3 - √3) + (1/2)(4 - 2√3)(√3 - 3/2)
= 6 - 5√3/2