高数函数的极限中的定理1怎么证明
高数函数的极限中的定理1怎么证明
函数f(x)当X→x0时极限存在的充要条件是左极限和右极限各自存在并且相等即
f（x0-0)=f(x0+0)
函数f(x)当X→x0时极限存在的充要条件是左极限和右极限各自存在并且相等即
f（x0-0)=f(x0+0)
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必要性：设lim（x→x0）f（x）=a,则对任意正数ε,存在正数δ,当0＜|x-x0|＜δ时,有|f（x）-a|＜ε.从而当x0-δ＜x＜x0时,有|f（x）-a|＜ε,故lim（x→x0-）f（x）=a；同样当x0＜x＜x0+δ时,有|f（x）-a|＜ε,所以lim（x→x0+）f（x）=a.
充分性：设lim（x→x0-）f（x）=lim（x→x0+）f（x）=a,则对任意正数ε,分别存在正数δ1和δ2,当x0-δ1＜x＜x0时,有|f（x）-a|＜ε；当x0＜x＜x0+δ2时,有|f（x）-a|＜ε.取δ=min{δ1,δ2},则当0＜|x-x0|＜δ时,有|f（x）-a|＜ε,即lim（x→x0）f（x）=a
充分性：设lim（x→x0-）f（x）=lim（x→x0+）f（x）=a,则对任意正数ε,分别存在正数δ1和δ2,当x0-δ1＜x＜x0时,有|f（x）-a|＜ε；当x0＜x＜x0+δ2时,有|f（x）-a|＜ε.取δ=min{δ1,δ2},则当0＜|x-x0|＜δ时,有|f（x）-a|＜ε,即lim（x→x0）f（x）=a
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