已知函数f(x)＝4x3−3x2cosθ+316cosθ，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤2π．

解题思路：（I）先求函数的导数，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函数的单调性，从而可判定是否有极值．
（II）先求出极值点，f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，求出极小值，使函数f（x）的极小值小于零建立不等关系，求出参数θ的取值范围即可．
（III）由②知，函数f（x）在区间（-∞，0）与 （ [cosθ/2]，+∞）内都是增函数，只需（2a-1，a）是区间（-∞，0）与 （ [cosθ/2]，+∞）的子集即可．

（Ⅰ）（1）当cosθ=0时，f（x）=4x³，则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，故无极值．
（II）f'（x）=12x²-6xcosθ，令f′（x）=0，得x₁=0，x2＝
cosθ
2．由（1）知，只需分下面两种情况讨论．
（1）当cosθ＞0时，随x的变化f′（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在x=[cosθ/2]处取得极小值，且f（[cosθ/2]）=−
cos3θ
4+
3cosθ
16＞0
∴0＜cosθ＜

3
2
∴[π/6＜θ＜
π
2]或[3π/2＜θ＜
11π
6]
（2）cos θ＜0时，随x的变化f′（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

∵f（x）在x=0处取得极小值f（0），且f（0）=[3cosθ/16]
若f（0）＞0则cosθ＞0与已知cosθ＜0矛盾
∴当cosθ＜0时，f（x）的极大值不会大于0
综上可得，要使得函数f（x）在R上的极小值大于0，θ∈(
π
6，
π
2)∪(
3π
2，
11π
6)
（III）由（II）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与 （[1/2]cosθ，+∞）内都是增函数．
由题设，函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，
则a须满足不等式组

2a−1＜a
a≤0 或

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；余弦函数的定义域和值域．

考点点评： 本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．