设函数f（x）=x（x-1） 2 ．

（1）∵f（x）=x（x-1） ² =x ³ -2x ² +x，
∴f′（x）=3x ² -4x+1，
令f′（x）=3x ² -4x+1=0，得x ₁ =
1
3 ，x ₂ =1，
列表讨论

x （-∞，
1
3 ）
1
3 （
1
3 ，1 ） 1 （1，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 由上表知：f（x）的增区间是 （-∞，
1
3 ），（1，+∞），减区间是（
1
3 ，1 ），
∴当x=1时，f（x）取极小值f（1）=0．…3分
（2）∵f（x）=x（x-1） ² =x ³ -2x ² +x，
∴F（x）=f（x）+2x ² -x-2axlnx=x ³ -2axlnx，
∵x＞0，∴由F（x）=x ³ -2axlnx=0，得x ² =2alnx，
∴当0≤a＜e时，函数零点的个数为0；
当a＜0或a=e时，函数零点的个数为1；
当a＞e时，函数零点的个数为2．
（3）∵g（x）=e ^x -2x ² +4x+t，
∴由3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，得
3-x ³ +2x ² -x≤x+m≤e ^x -2x ² +4x+t在[0，+∞）上恒成立，
∴h ₁ （x）=x+m-（3-x ³ +2x ² -x）=x ³ -2x ² +2x+m-3≥0在[0，+∞）上恒成立，
∵h ₁ ′（x）=3x ² -4x+2=3（x-
2
3 ） ² +
2
3 ≥
2
3 ，
∴h ₁ （x）在[0，+∞）上是增函数，
∴h ₁ （x）在[0，+∞）上的最小值h ₁ （x） _min =h ₁ （0）=m-3≥0．
∴m≥3，
∵实数m有且只有一个，
∴m=3
h ₂ （x）=e ^x -2x ² +4x+t-x-m=e ^x -2x ² +3x+t-3≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴h ₂ （x）=e ^x -2x ² +3x+t≥3在[0，+∞）上恒成立，
当x=0时，h ₂ （0）=1+t≥3，
∴t≥2．