奇函数与偶函数的运算性质
在数学分析中，奇函数与偶函数是两类具有特定对称性的函数。若对于定义域内任意x，有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数，其图像关于原点对称；若有f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称。理解这两类函数之间的运算结果，对于简化问题分析和函数性质判断至关重要。
奇偶函数的加减运算
首先，考察奇函数与偶函数的加减运算。设f(x)为奇函数，g(x)为偶函数。对于它们的和：令h(x) = f(x) + g(x)，则h(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) + g(x)。结果既不恒等于h(x)，也不恒等于-h(x)，因此“奇函数加偶函数”的结果通常是一个非奇非偶函数（除非其中一个函数为零函数）。同理，“奇函数减偶函数”的结果同样是非奇非偶的。
其次，考察同类函数的加法。两个奇函数之和：设f(x)和k(x)均为奇函数，则m(x)=f(x)+k(x)，有m(-x)=f(-x)+k(-x) = -f(x)-k(x) = -m(x)，因此“奇函数加奇函数”的结果仍是奇函数。类似地，两个偶函数之和仍为偶函数。而减法可视为加上一个负函数，因此“奇函数减奇函数”结果仍为奇函数，“偶函数减偶函数”结果仍为偶函数。
总结与扩展
综上所述，奇偶函数的加减运算遵循清晰的规律：同类函数相加减，结果的奇偶性不变；异类函数相加减，结果一般失去奇偶性，变为非奇非偶函数。掌握这些基本运算规则，能帮助我们在面对复杂函数时，快速判断其对称性，并为后续研究函数的积分、傅里叶级数展开等奠定重要基础。值得注意的是，函数的乘除运算也有相应的奇偶性规则，例如奇函数乘以偶函数得到奇函数，这构成了一个更完整的知识体系。