标准正态分布的概率密度函数
标准正态分布是概率论与统计学中最为核心的连续概率分布之一。其概率密度函数（Probability Density Function, PDF）的完整数学表达式为：P(x) = (1/√(2π)) * e^(-x²/2)，其中x∈R（即定义域为全体实数）。这个简洁而优美的公式，完美地刻画了一个均值为0、标准差为1的正态分布（即标准正态分布）的形态。公式中的常数项1/√(2π)确保了整个函数曲线下的总面积等于1，这符合概率密度函数的基本公理。而核心部分e^(-x²/2)则决定了函数的形状——它是一个关于纵轴对称的钟形曲线，在均值x=0处取得最大值，并向两侧快速且光滑地衰减。
函数的特性与几何意义
该函数图像呈现经典的“钟形”对称结构，具有若干关键特性。首先，函数关于y轴对称，这意味着P(x) = P(-x)，反映了随机变量取正值与负值相对应位置的概率密度相同。其次，在x=0处，函数取得最大值1/√(2π) ≈ 0.3989，这是分布的最高点（众数）。随着x的绝对值增大，e的负指数项使得函数值迅速趋近于0，但理论上永远不会等于0，表明曲线以x轴为渐近线。这个函数的几何形状直观地展示了数据分布的规律：绝大多数取值集中在均值0附近，而远离均值的极端值出现的概率密度极低。
核心应用与重要性
标准正态分布的概率密度函数是整个正态分布家族的基石。任何一般化的正态分布N(μ, σ²)都可以通过Z = (X-μ)/σ的标准化变换，转化为标准正态分布。因此，该函数是计算概率、进行统计推断（如假设检验、构造置信区间）的核心工具。在实际应用中，我们虽然不直接用它计算概率（概率通过计算密度函数曲线下的面积获得，即查阅标准正态分布表或使用软件计算累积分布函数），但它是理解正态分布数学本质、推导相关统计理论的根本起点。其形式在物理学、金融学、心理学等众多领域刻画误差、自然变异等现象时反复出现，彰显了其在描述随机世界中的基础地位。