已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．

解题思路：（1）右准线l2为x=a2c，设渐近线l为y=bax，则kPF＝abc−0a2c−c＝−ab，kl＝ba，由此能证明PF⊥l．（2）由已知得|bc|a2+b2=3，从而b=3，又e＝ca＝54，由此能求出双曲线方程．（3）PF为：y=-ab（x-c），由y＝−ab(x−c)x＝−a2c，得M(−a2c，a(a2+c2)bc)，N(−3a2c，a(3a2+c2)bc)，由N在双曲线上，能求出双曲线的离心率．

（1）证明：双曲线
x2
a2-
y2
b2=1（a＞0，b＞0）的右准线l₂为x=
a2
c，
由对称性不妨设渐近线l为y=[b/a]x，
则P（
a2
c，
ab
c），又F（c，0），
∴kPF＝

ab
c−0

a2
c−c＝−
a
b，（2分）
又∵kl＝
b
a，∴k_PF•k_l=-[a/b•
b
a]=-1，
∴PF⊥l．（4分）
（2）∵|PF|的长即F（c，0）到l：bx-ay=0的距离，
∴
|bc|

a2+b2=3，即b=3，（6分）
又e＝
c
a＝
5
4，
∴
a2+b2
a2＝
25
16，∴a=4，
故双曲线方程为
x2
16−
y2
9=1．（8分）
（3）PF的方程为：y=-[a/b]（x-c），
由

y＝−
a
b(x−c)
x＝−
a2
c，得M(−
a2
c，
a(a2+c2)
bc)，（9分）
∵M是PN的中点
∴N(−
3a2
c，
a(3a2+c2)
bc)，（10分）
∵N在双曲线上，
∴
9a2
c2−
a2
c2(
3a2+c2
b2)2＝1，
即
9
e2−
1
e2(
e2+3
e2−1)2＝1，
令t=e²，则t²-10t+25=0，∴t=5，即e=
5．（12分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查直线垂直的证明，考查双曲线方程的求法，考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．