设η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解（A是m×n矩阵），ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解，证明：

解题思路：（1）写出向量组的线性组合，然后利用η₁与η₂是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，证明系数为零即可；（2）由r（A）=n-1，得到齐次线性方程组Ax=0的基础解系只含有一个解向量；再由η₁-η₂是Ax=0的一个非零解，得到ξ、η₁-η₂线性相关，从而证明结论．

证明：（1）设k₁η₁+k₂（η₁-η₂）=0，则
k₁Aη₁+k₂A（η₁-η₂）=0
已知η₁与η₂是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，因此
Aη₁=Aη₂=b
∴k₁b=0
而b≠0
∴k₁=0
∴k₂（η₁-η₂）=0
又η₁与η₂是互不相同的，即η₁-η₂≠0
∴k₂=0
∴向量组η₁，η₁-η₂线性无关
（2）由秩r（A）=n-1，知Ax=0的基础解系只含有一个解向量
∴ξ是Ax=0的一个基础解系
又η₁-η₂是Ax=0的一个非零解
∴ξ、η₁-η₂线性相关，即存在数k，使得η₁-η₂=kξ
∴kξ+η₁-η₂=0
即向量组ξ，η₁，η₂线性相关

点评：
本题考点： 向量组线性无关的判定与证明；向量组线性相关的判别．

考点点评： 此题考查向量组的线性无关或相关的判定、齐次线性方程组与非齐次线性方程组解的关系和解的结构，是基础知识点的综合．