已知函数f（x）=[1+lnx/x]
已知函数f（x）=[1+lnx/x]
（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围
（2）当n∈N*，n≥2时，求证：nf（n）＜2+[1/2]+[1/3]+…+[1/n−1]（提示：证明ln（1+x）＜x，（x＞0））
（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围
（2）当n∈N*，n≥2时，求证：nf（n）＜2+[1/2]+[1/3]+…+[1/n−1]（提示：证明ln（1+x）＜x，（x＞0））
赞 kusnilac 幼苗
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解题思路：（1）函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值⇒f′（x）=0在（a，a+1）上有根，结合条件由函数的单调性可得函数有唯一极值点x=1，1∈（a，a+1）．
（2）结合函数f（x）在（1，+∞）上的单调性可得，f （[1/n]+1）＜f（1）=1⇒1+f（1+[1/n]）＜1+f（1）⇒ln（n+1）-lnn＜[1/n]，利用该结论分别把n=1，2，3，…代入叠加可证．
（2）结合函数f（x）在（1，+∞）上的单调性可得，f （[1/n]+1）＜f（1）=1⇒1+f（1+[1/n]）＜1+f（1）⇒ln（n+1）-lnn＜[1/n]，利用该结论分别把n=1，2，3，…代入叠加可证．
（1）∵f（x）=1+lnxx，∴f′（x）=-lnxx2，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；∴函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数，∴当x=1时，函数f（x）取得极大值...
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查函数存在极值的性质，函数与方程的转化，及利用函数的单调性证明不等式，要注意叠加法及放缩法在证明不等式中的应用．
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