（2014•菏泽一模）如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=[π

解题思路：（Ⅰ）由题设条件推导出EC⊥平面ABCD，EC⊥CD，根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AG∥平面BDE．（Ⅱ）由（1）知EG＝(0，2，−1)，求出平面EDG的法向量和平面EDG的一个法向量及平面BDE的一个法向量，由此能求出二面角G-DE-B的余弦值．

（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，
∴CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD，
∵平面ABCD⊥平面BCEG，∠BCD＝∠BCE＝
π
2，∴EC⊥CD，．…（2分）
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），
A（2，1，0）G（0，2，1）…．（3分）
设平面BDE的法向量为

m＝(x，y，z)，
∵

EB＝(0，2，−2)，

ED＝(2，0，−2)，
∴

EB•

m＝0

ED•

m＝0，

y−z＝0
x−z＝0，
∴x=y=z，∴平面BDE的一个法向量为

m＝(1， 1 ，1)…..（5分）
∵

AG＝(−2， 1， 1)，∴

AG•

m＝−2+1+1＝0，
∴

AG⊥

m，
∵AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE．…．（7分）
（Ⅱ）由（1）知

EG＝(0，2，−1)，
设平面EDG的法向量为

n＝(x，y，z)，则



EG•

n＝0


ED•

n＝0，
即

2y−z＝0
2x−2z＝0，∴平面EDG的一个法向量为

n＝(1，
1
2， 1)…..（9分）
又平面BDE的一个法向量为

m＝(1， 1 ，1)，
设二面角G-DE-B的大小为α，
则cosα＝
1+
1
2+1

3•
1+
1
4+1＝
5
3
9，
∴二面角G-DE-B的余弦值为
5
3
9．…..（12分）

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．