（2014•东营二模）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现
（2014•东营二模）
如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）设CD=a，求三棱锥A-BFE的体积．
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解题思路：（1）先证明AB⊥底面BDC，可得AB⊥CD，又DC⊥BC，从而证明DC⊥平面ABC．
（2）由（1）知 EF⊥平面ABC，求得S△AEB＝
a2，代入体积公式VA−BFE＝VF−AEB＝
S△AEB•FE进行运算可得答案．
（2）由（1）知 EF⊥平面ABC，求得S△AEB＝
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（1）证明：在图甲中，∵AB=BD，且∠A=45°，
∴∠ADB=45°，∠ABC=90° 即AB⊥BD．
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD，
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．又∠DCB=90°，
∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC．
（2）∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD，
又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，
∴VA−BFE＝VF−AEB＝
1
3S△AEB•FE，在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°，
由CD=a得BD＝2a，BC＝
3a，EF＝
1
2CD＝
1
2a，∴S△ABC＝
1
2AB•BC＝
1
2•2a•
3a＝
3a2，
∴S△AEB＝
3
2a2，∴VA−BFE＝
1
3•
3
2a2•
1
2a＝
点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
考点点评： 本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，求出△AEB的面积，确定棱锥的高为EF 是解题的关键．
1年前
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