设动直线l和圆C:x^2+y^2-2x-2y=1=0相切,且与x,y轴正半轴交于A、B两点,且切线在圆C上方.求线段AB
设动直线l和圆C:x^2+y^2-2x-2y=1=0相切,且与x,y轴正半轴交于A、B两点,且切线在圆C上方.求线段AB中点M的轨迹方程,三角形AOB面积的最小值
赞 唐氏三少 春芽
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（1）x^2+y^2-2x-2y=1=0
(x-1)^2+(y-1)^2=0
圆心C(1,1) r=1
设直线l的方程为x/a+y/b=1,即bx+ay-ab=0
圆心C到直线l的距离d=|b+a-ab|/√(a^2+b^2)=r=1
化简得(a-2)(b-2)=2
由x=a/2,y=b/2,得a=2x,b=2y
则(2x-2)(2y-2)=2
(x-1)(y-1)=1
所以线段AB中点M的轨迹方程是 (x-1)(y-1)=1
（2）S△AOB=1/2ab=1/2a(2/(a-2)+2)=a-2+2/(a-2)+3>=2√2+3
当且仅当a-2=√2即a=√2+2时等号成立
所以面积最小值是2√2+3
(x-1)^2+(y-1)^2=0
圆心C(1,1) r=1
设直线l的方程为x/a+y/b=1,即bx+ay-ab=0
圆心C到直线l的距离d=|b+a-ab|/√(a^2+b^2)=r=1
化简得(a-2)(b-2)=2
由x=a/2,y=b/2,得a=2x,b=2y
则(2x-2)(2y-2)=2
(x-1)(y-1)=1
所以线段AB中点M的轨迹方程是 (x-1)(y-1)=1
（2）S△AOB=1/2ab=1/2a(2/(a-2)+2)=a-2+2/(a-2)+3>=2√2+3
当且仅当a-2=√2即a=√2+2时等号成立
所以面积最小值是2√2+3
1年前
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