一道简洁的数学证明题,自己想的求证：N^5-N=30K,(N,K∈Z）最好不用讨论分几种情况~下面是不用讨论的方法：发现

思路就是证明做边的式子可以被2,3,5整除
左边=n(n+1)(n-1)(n^2+1)
n(n+1)(n-1)很容易得到可以被2 3整除
设n=5x+a
a=0 n=5x
a=1 n-1=5x
a=4 n+1=5x+5
这三种情况,很明显n(n+1)(n-1)可以被5整除
a=2 n=5x+2
n^2+1=(5x+2)^2+1=25x^2+20x+5=5(5x^2+4x+1) 可被5整除
a=3 n=5x+3
n^2+1=(5x+3)^2+1=25x^2+30x+10=5(5x^2+6x+2) 可被5整除
综上
n(n+1)(n-1)(n^2+1)
必然可被2,3,5整除,即被30整除
原式成立

汗~~
N^5-N
=N(N^4-1)
=(N-1)N(N+1)(N²+1)
明显(N-1)N(N+1)能被6整除
若(N-1)N(N+1)能被5整除，则原式能被30整除
若不能，则(N-1)N(N+1)除以5所得的余数为连续的自然数，要么1,2,3要么2,3,4，那么N=2或者3
若N=2，那么N的末位数字是2或7，平方后加1的末...

n^5-n=n*(n^4-1)=(n-1)*n*(n+1)*(n^2+1)
(n-1),n,(n+1)三数中必有一个数能被2整除,一个数能被3整除,故(n-1)*n*(n+1) 必能被6整除,于是n^5-n必能被6整除.
另一方面,如果n能被5整除,则n^5-n也能被5整除,如果n不能被5整除,由于5是素数,由Fermat定理可知,n^5-n也能被5整除,因此对任意的n,n^5...