如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点O是斜边AB上一动点，以OA为半径作⊙O与AC边交于点P

小题1:在Rt△ABE中， ．…………… 1分
过点O作OD⊥BC于点D，则OD∥AC，
∴△ODB∽△ACB， ∴ ，∴ ，∴ ，
∴点O到BC的距离为 ．………………………………………………… 3分
小题2:证明：过点O作OE⊥BC于点E， OF⊥AC于点F，
∵△OEB∽△ACB， ∴ ∴ ，∴ ．
∴直线BC与⊙O相切．………………………………………………… 5分
此时，四边形OECF为矩形，
∴AF=AC-FC=3- = ，
∵OF⊥AC，
∴AP=2AF= ．………………………………………………… 7分
小题3: ；………………………………………………… 9分
小题4:点O作OG⊥AC于点G， OH⊥BC于点H，
则四边形OGCH是矩形，且AP=2AG，
又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形． ………………… 10分
设正方形OGCH的边长为x，则AG=3-x，
∵OG∥BC，
∵△AOG∽△ABC，∴ ， ∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴AP=2AG= ．………………………………………………… 12分

略