（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆

解题思路：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为

2

r，
截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x-2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．

解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为
2r，故r²=2b²，
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有
r²=a²+1．
从而得2b²-a²=1．
又点P（a，b）到直线x-2y=0的距离为d＝
|a−2b|

5，
所以5d²=|a-2b|²
=a²+4b²-4ab
≥a²+4b²-2（a²+b²）
=2b²-a²=1，
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d²=1，从而d取得最小值．
由此有

a＝b
2b2−a2＝1
解此方程组得

a＝1
b＝1或

点评：
本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，
P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．