（2008•广州一模）已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．

解题思路：（1）求出f'（x）=e^x-1，当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0，故当x=0时，f（x）有最小值1．
（2） 令x＝−

k

n

，则∴(1−

k

n

)n≤(e−

k

n

)n＝e−k(k＝1，2，，n−1)，得到
(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n−1

n

)n+(

n

n

)n≤e−(n−1)+e−(n−2)+…+e−2+e−1+1，利用等比数列求和公式和放缩法，可证明 e−(n−1)+e−(n−2)+…+e−2+e−1+1＝

1−e−n

1−e−1

＜

1

1−e−1

＝

e

e−1

．

（1）∵f（x）=e^x-x，∴f'（x）=e^x-1，令f'（x）=0，得x=0．
∴当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0．∴函数f（x）=e^x-x在区间（-∞，0）上单调递减，
在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，f（x）有最小值1．
（2）证明：由（1）知，对任意实数x均有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．令x＝−
k
n（n∈N^*，k=1，2，，n-1），
则 0＜1−
k
n≤e−
k
n，∴(1−
k
n)n≤(e−
k
n)n＝e−k(k＝1，2，，n−1)．
即(
n−k
n)n≤e−k(k＝1，2，，n−1)．∵(
n
n)n＝1，
∴(
1
n)n+(
2
n)n+…+(
n−1
n)n+(
n
n)n≤e−(n−1)+e−(n−2)+… ．+e−2+e−1+1．
∵e−(n−1)+e−(n−2)+…+e−2+e−1+1＝
1−e−n
1−e−1＜
1
1−e−1＝
e
e−1，
∴(
1
n)n+(
2
n)n+…+(
n−1
n)n+(
n
n)n＜
e
e−1．

点评：
本题考点： 不等式的证明；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查利用导数求函数的最值，等比数列求和公式，用放缩法证明不等式，得到
(1n)n+(2n)n+…+(n−1n)n+(nn)n≤e−(n−1)+e−(n−2)+…+e−2+e−1+1是解题的关键和难点．