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落叶800 幼苗
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x2 |
x+1 |
x2 |
x+1 |
x+lnx |
2 |
(x−lnx)2 |
2 |
(x−lnx)2 |
2 |
(Ⅰ)f′(x)=2x−2a−
2a
x=
2x2−2ax−2a
x(x>0);
∵x=1是函数f(x)的极值点;
∴f′(1)=2-2a-2a=0,解得a=
1
2;
经检验x=1为函数f(x)的极值点,所以a=
1
2.
(II)∵f(x)在区间(2,+∞)上单调递增;
∴f′(x)=
2x2−2ax−2a
x≥0在区间(2,+∞)上恒成立;
∴a≤
x2
x+1对区间(2,+∞)恒成立;
令M(x)=
x2
x+1,则M′(x)=
2x(x+1)−x2
(x+1)2=
x2+2x
(x+1)2;
当x∈(2,+∞)时,M′(x)>0,有M(x)=
x2
x+1>M(2)=
4
3;
∴a的取值范围为(−∞,
4
3].
(Ⅲ)F(x)=x2-2ax-2alnx+ln2x+2a2=2[a2−(x+lnx)a+
x2+ln2x
2];
令P(a)=a2−(x+lnx)a+
x2+ln2x
2;
则P(a)=(a−
x+lnx
2)2−(
x+lnx
2)2+
x2+ln2x
2=(a−
x+lnx
2)2+
(x−lnx)2
4≥
(x−lnx)2
4;
令Q(x)=x-lnx,则Q′(x)=1−
1
x=
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 第一问中的a是比较容易求出的,然而需验证求的a符合题意,这需要理解极值的定义.第二问是根据函数导数符号与函数单调性的关系去求解的,而比较关键的是得到a≤x2x+1.第三问的关键是构造完全平方式,使一个完全平方式里含a,另一个不含a,因为a的值不确定,并且要证的不等式的右边不含a.
1年前
1年前1个回答
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