(2014•漳州模拟)定义在实数集上的函数f(x)=x2+x,g(x)=[1/3]x3-2x+m.

(2014•漳州模拟)定义在实数集上的函数f(x)=x2+x,g(x)=[1/3]x3-2x+m.
(1)求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程;
(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[-4,4]恒成立,求实数m的取值范围.
xiesiyuan 1年前 已收到1个回答 举报

bambo96 幼苗

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解题思路:(1)求切线方程,就是求k=f′(1),f(1),然后利用点斜式求直线方程,问题得以解决;
(2)令h(x)=g(x)-f(x),要使f(x)≥g(x)恒成立,即h(x)max≤0,转化为求最值问题.

(1)∵f(x)=x2+x
∴f′(x)=2x+1,f(1)=2,
∴f′(1)=3,
∴所求切线方程为y-2=3(x-1),
即3x-y-1=0;
(2)令h(x)=g(x)-f(x)=[1/3]x3-2x+m-x2-x=[1/3]x3-3x+m-x2
∴h′(x)=x2-2x-3,
当-4<x<-1时,h′(x)>0,
当-1<x<3时,h′(x)<0,
当3<x<4时,h′(x)>0,
要使f(x)≥g(x)恒成立,即h(x)max≤0,
由上知h(x)的最大值在x=-1或x=4取得,
而h(-1)=m+
5
3,h(4)=m-[20/3],
∵m+[5/3]>m−
20
3,
∴m+
5
3≤0,
即m≤−
5
3.

点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.

考点点评: 导数再函数应用中,求切线方程就是求某点处的导数,再求参数的取值范围中,转化为求函数的最大值或最小值问题.

1年前

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