如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：

解题思路：（1）根据三角形的内角和是180°，和题中给出的角的度数，可求得各角的度数，从而得出AD=BD=BC；
（2）利用三角形的相似来证明点D是线段AC的黄金分割点．

证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°-36°-72°=72°，
∵∠ADB=108°，
∴∠ABD=180°-36°-108°=36°，
∴△ADB是等腰三角形，
∵∠BDC=180°-∠ADC=180°-108°=72°，
∴△BDC是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．
（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC²=AC•DC，
∵BC=AD，
∴AD²=AC•DC，
∴点D是线段AC的黄金分割点．

点评：
本题考点： 黄金分割；三角形内角和定理；等腰三角形的判定．

考点点评： （1）考查了等腰三角形的判定；
（2）考查了学生对黄金分割点的证明，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（5−12）叫做黄金比．