已知：如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC2=AB•AD．

解题思路：（1）根据等腰三角形的判断（等角对等边），通过证明△ABC∽△CAD得出对应角相等得出△ADC和△BDC都是等腰三角形；
（2）由（1）知BD=BC=AC，及AC²=AB•AD，可以求AC的值；
（3）利用36°，72°，108°角的特殊关系，设计等腰梯形，满足题意．

（1）证明：∵∠A=36°，AC=BC，
∴∠B=∠A=36°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=108°，
∵AC²=AB•AD，
∴AC：AB=AD：AC，
∵∠A是公共角，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD=∠B=36°，
∴AD=CD，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=72°，
∴∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BC=BD，
即：△ADC和△BDC都是等腰三角形；

（2）∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACD=∠B=36°，
∴∠BCD=∠A+∠ACD=72°，∠BCD=∠ACB-∠ACD=108°-36°=72°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC，
∵AC=BC，
∴AC=BC=BD，
设AC=x，
则BC=BD=x，AD=1-x，
∵AC²=AB•AD，
∴x²=1-x，
解得：x=

5−1
2或x=
−
5−1
2（舍去），
∴AC的值为

5−1
2．

（3）如图．

点评：
本题考点： 等腰梯形的性质；等腰三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了等腰三角形的性质，等腰梯形的性质．关键是根据线段相等，判断角的相等关系，以及三角形内角和定理的运用．