函数曲线上每一点的导数相同吗?如果不同,那每一点上的导数应该怎么表示?顺便证明一下(e^x)`=e^x,还有(x^a)=

(1)设函数f(x)=e^x,由导数定义:
(f(x))`=[f(x+h)-f(x)]/h,当h->0
所以有:(e^x)`=[e^(x+h)-e^x]/h
=e^x[e^h-1]/h
由等价无穷小知,当x->0时:e^(x)-1->x
所以:e^h-1->h,所以:(e^x)`=e^x[h/h]=e^x
得证!
(2)由式子变形:(x^a)=e^(lnx^a)=e^(alnx)
所以:(x^a)`=e^(alnx)*(alnx)`=x^a*a*(1/x)=ax^(a-1)
得证!
(3)有导数的几何意义来看:函数上某点的导数就是该点的切线的斜率.所以大于一次的函数上曲线每一点的导数不相同.
函数在x=a点的导数表示就是:f`(a),求法:先求出该函数曲线的一阶导数再代入该点的横坐标即可.
PS:有两天没上了,答迟了请见谅!