已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，一元二次方程x2+b2x+20=0的两实根

解题思路：先将x₂-x₃=x₁-x₄=3化简为两根之和的形式，再代入数值进行计算．

∵x₂-x₃=x₁-x₄=3
∴x₂-x₃=3，x₁-x₄=3
∴x₂-x₃+x₁-x₄=6即（x₁+x₂）-（x₃+x₄）=6
∴（x₁+x₂）-（x₃+x₄）=-b+b²=6，即b²-b-6=0，解得：b=-2或3
∵x₂-x₃=x₁-x₄
∴|x₁-x₂|=|x₃-x₄|
即
(x1+x2)2−4x1x2=
(x3+x4)2−4x3x4
∴9-4c=81-4×20，
解得：c=2
又∵一元二次方程x²+b²x+20=0有两实根
∴△=b⁴-80≥0，
当b=-2，c=2时，有y=x²-2x+2，
△=4-4×1×2=-4＜0，
与x轴无交点，
∴b=-2不合题意舍去
则解析式为y=x²+3x+2，
根据顶点坐标公式可得顶点坐标：(−
3
2，−
1
4)．

点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x1-x2|，并熟练运用．

x2-x3=3，x1-x4=3
两式相加有：x2-x3+x1-x4=6 则（x1+x2）-（x3+x4）=6
再结合根与系数关系即为（x1+x2）-（x3+x4）=-b-(-b^2)=6，
所以b^2-b-6=0，解得：b=-2或3
方程x^2+b^2x+20=0有两实根
∴△=b^4-80≥0，
当b=-2时，函数y=x^2-2x+2，
...

这个比较麻烦，不知道你可以看懂不？
首先：由已知得（x1+x2)-(x3+x4)=6.........(1)
函数与x轴有交点y=0,将x1,x2带入得x1^2+b.x1+c=0和x2^2+b.x2+c=0两式相减得（x1-x2)(x1+x2)-b(x1-x2)=0;得（x1+x2)-b=0........(2)
同理将x3,x4带入x²+b²x+20...