已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于B（-2，0），C（4，0）两点，点E是对称轴l与x的交点．

解题思路：（1）将B、C坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可确定该抛物线的解析式．
（2）若⊙B与直线CT相切，那么BT⊥CT，易得抛物线的对称轴方程，可设出点T的纵坐标，利用直线BT、直线CT的垂直，即斜率的乘积为-1，即可列出关于T点纵坐标的方法，求得点T的坐标．
（3）此题应该结合圆周角定理来理解，以E为圆心，BC为半径作圆，交抛物线于M、N两点，那么∠BMC=∠BNC=90°，若∠BEC是锐角，那么点E必在M、N之间的函数图象上，当P位于M或N得位置时，PE=3，当P位于抛物线的顶点时，PE的值为抛物线顶点纵坐标，由此可求得PE的取值范围．
（4）将（1）题所得抛物线解析式化为关于x的一元二次方程，由于方程有整数解，那么根的判别式大于0，可据此求得y的取值范围，由于y是一个完全平方数，进而可求得y的值，再将其值代入方程中即可求得x的值，从而确定m、n、s的值．（也可通过观察函数图象来确定y的值）

（1）由于抛物线的图象经过B（-2，0），C（4，0）两点，则有：


−4−2b+c＝0
−16+4b+c＝0，
解得

b＝2
c＝8；
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x+8．（4分）

（2）易知抛物线的对称轴为：x=1；
设点T（1，m），
则直线BT的斜率：k₁=[m/1+2]，直线CT的斜率：k₂=[m/1−4]；
若⊙B与CT相切，则有：
[m/1+2×
m
1−4＝−1，
解得m=±3；
故T（1，3）或（1，-3）．（2分）

（3）以E为圆心，BC长为直径作圆，交抛物线于M、N两点；
由圆周角定理知：∠BMC=∠BNC=90°，
此时ME=NE=
1
2]BC=3；
若∠BPC是锐角，那么点P必在M、N之间的抛物线图象上，故PE＞3；
易知抛物线的顶点坐标为：（1，9），
当点P运动到抛物线的顶点位置时，PE的长最大，且此时PE=9；
综上可知，PE的取值范围为：3＜PE≤9．（2分）

（4）法一：由y=-x²+2x+8，故关于x的一元二次方程x²-2x+（y-8）=0有整数解，
因此△_x=4-4（y-8）=-4y+36是完全平方数，且△_x=-4y+36≥0，
则y≤9，又y是一个完全平方数，
所以，y只能为0，1，4，9；（1分）
分别代入方程x²-2x+（y-8）=0，又x为整数，
解得

x＝4

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了二次函数解析式的确定、切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、根的判别式等重要知识；涉及的知识点较多，综合性强，难度较大．