数学题作答47

解二阶微分方程：y''+[2/(1-y)]y'²=0
令y'=dy/dx=z,则y''=dy'/dx=dz/dx=(dz/dy)(dy/dx)=z(dz/dy),代入原式得：
z(dz/dy)+[2/(1-y)]z²=0
消去一个z,得(1/z)(dz/dy)=2/(y-1)
分离变量得dz/z=[2/(y-1)]d(y-1)
积分之得lnz=2ln(y-1)+lnC₁=ln[C₁(y-1)²]
故得z=dy/dx=C₁(y-1)²
再分离变量得：dy/(y-1)²=C₁dx
积分之,得-1/(y-1)=C₁x+C₂.
故y=1-1/(C₁x+C₂)
代入初始条件：当x=0时y=0,故1-1/C₂=0,即C₂=1；
又当x=1是y=2,故有1-1/(C₁+1)=2,即C₁=-2.
故原方程的特解为y=1-1/(-2x+1)=1+1/(2x-1)
故当x=2时y=1+1/(4-1)=1+1/3=4/3,应选D.

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