已知不等式[1/n+1+1n+2+…+12n＞a对一切大于1的自然数n都成立，则a的取值范围是（　　）

解题思路：先设f(n)＝

1

n+1

+…+

1

2n

，利用单调性的定义证得f（n）是关于n（n∈N，n≥2）的递增数列，从而f（n）≥f（2）从而可求a的取值范围．

设设f(n)＝
1
n+1+…+
1
2n]，则f(n+1)＝
1
n+2+…+
1
2n+
1
2n+1+
1
2(n+1)，
则f(n+1)−f(n)＝
1
2n+1+
1
2(n+1)−
1
n+1＝
1
2n+1−
1
2(n+1)=[1/2n+1−
1
2n+2＞0，
所以数列f（n）是关于n（n∈N，n≥2）的递增数列，
所以f（n）≥f（2）=
1
2+1+
1
2+2＝
1
3+
1
4＝
7
12]，
所以要使不等式[1/n+1+
1
n+2+…+
1
2n＞a对一切大于1的自然数n都成立，所以a＜
7
12]．
故选C．

点评：
本题考点： 极限及其运算．

考点点评： 本小题主要考查数列单调性的应用、不等式的证明、进行简单的演绎推理、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．

由柯西不等式：
[(n+1)+(n+2)+...+(2n)][1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)]>(1+1+...+1)^2=(n)^2{注，一共有n个1,而且等号显然不成立}
而由等差数列求和公式有：(n+1)+(n+2)+...+(2n)=（2n+n+1）n/2=(3n+1)n/2
于是1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(3n)>(2n^2...