已知函数f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x

解题思路：（1）当a＝

1

6

时，对函数求导f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2），由导数确定函数的单调性，进而可求函数的极值与极值点；
（2）f（x）在（-1，1）上是增函数，则f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立，从而3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立，可求a的取值范围．

（I ）a=[1/6]，f（x）=[1/2x4-3x2+4x
对函数求导可得，f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2）
当x＞-2时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增
x＜-2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，-2）上单调递减
x=-2是函数的极小值f（-2）=-12，没有极大值
（II）∵f（x）在（-1，1）上是增函数，则f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立
而f′（x）=4（x-1）（3ax²+3ax-1）
∴3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立
令g（x）=3ax²+3ax-1
则

a＞0
g(-1)≤0
g(1)≤0]或

a＜0
g(-
1
2)≤0或a=0
∴

a＞0
-1≤0
6a-1≤0或

a＜0
-
3a
4-1≤0或a=0
∴-
4
3≤a≤
1
6

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值与函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．