一道数论竞赛难题

首先, 当k ≥ 53, 可以按如下步骤操作:
将2014个氧气瓶排成一个38行53列的阵列(2014 = 38×53).
依次将各行的氧气瓶对接, 使每行中的氧气瓶压强都变为该行的算术平均.
(每行有53 ≤ k个氧气瓶, 因此这一操作是允许的).
再依次将各列的氧气瓶对接, 易见操作结束后各氧气瓶的压强都相等.
(每列有38 < k个氧气瓶, 因此这一操作也是允许的).
因此k ≥ 53时, 可以完成目标.
当k < 53, 构造例子如下:
使1个氧气瓶压强为1, 其余2013个氧气瓶压强为0.
若能完成目标, 则各氧气瓶中的压强都应变为1/2014.
以下证明这是做不到的.
关键是这一观察: 任意给定不超过k个氧气瓶(k < 53),
如果各瓶的压强表示成既约分数时, 分母都不被53整除,
则它们对接后得到的压强表示成既约分数时, 分母也不能被53整除.
原因很简单, 在求和通分步骤中, 公分母为各分母乘积的约数, 不被53整除.
在取平均步骤中, 至多给分母引入一个不超过k < 53的因子, 仍不被53整除.
注意到开始状态时, 各氧气瓶表示成既约分数的分母是1, 不被53整除.
根据上述观察, 不论进行多少次操作, 各瓶压强表示成既约分数时, 分母都不被53整除.
而目标状态1/2014的分母被53整除, 因此不可能达到.