请问一个导函数定义域的问题设f(x)=g(x)+h(x)对于这种函数,在求导时一般是先求g'(x)和h'(x),然后再相

请问一个导函数定义域的问题
设f(x)=g(x)+h(x)
对于这种函数,在求导时一般是先求g'(x)和h'(x),然后再相加,而不会直接对f(x)进行求导.
但是通过运用这些导数运算法则求出来的导函数,定义域会不会与直接求导得出的函数定义域不一样?
会不会存在某些点g(x)和h(x)都不可导,但g(x)+h(x)却可导呢?如果有这样的点的话,用导数四则运算求出的导函数定义域不就缩小了吗?一个简单的例子是f(x) = |x| - |x|如果用导函数的加法法则分别对|x|求导的话,得出的答案会是f'(x)=0 定义域为{x:x不等于0} .所幸的是这个例子很简单,我们很容易看出在0点也是可导的,而且我们在求这个函数的导函数的时候也根本不会用加法法则来求,直接求导就行了.但是如果遇到g(x)和h(x)是很复杂的函数的时候,直接求导将会是很复杂的事,但运用运算法则来求导,如何保证得到的事真实的定义域呢?情况不止是f(x)=g(x)+h(x)会出现这种定义域问题,在函数相乘、相除、复合函数等等求导的问题中依然会遇到这种定义域问题,但是导函数的四则运算法则和复合函数求导法则的确是很简便的工具,但用这些简便的工具求出的导函数如何能保证得到的是真实的定义域呢?
to kent0607：
当然我知道导函数运算法则是要求两个函数在某点的导数都存在，我们在求某个函数的导函数时，绝大部分的情况都会应用这些法则来求，但由这些法则求出的导函数，譬如说f'(x)=u'(x)+h'(x)，严格来说我认为得出的定义域只会是u'(x)和h'(x)的交集，而很难保证是f'(x)这个函数真实的定义域（通过直接求导得出的导函数定义域），因为可能有某些点是u'(x)和h'(x)均无定义，但f在该点却存在导函数。所以当我们运用这些法则来求各种复杂函数的导函数的时候，我们为什么会那么有信心的认为得到的导函数是完全正确的呢？发生在非初等函数上比较普遍。但关键是对于一般的初等函数，是否即使对于初等函数而言，也必须具体情况具体分析呢？如果这样，我们在求导运算时工作量就增大很多了。