证明一个函数处处可导设f(x)满足:1.f(x+y)=f(x)+f(y),对一切x,y属于R2.f(x)=1+xg(x)

证明一个函数处处可导
设f(x)满足:1.f(x+y)=f(x)+f(y),对一切x,y属于R
2.f(x)=1+xg(x),而lim x->0 g(x)=1
证明f(x)在R上处处可导,且f'(x)=f(x)
jadehust 1年前 已收到2个回答 举报

蜗牛快快跑 幼苗

共回答了21个问题采纳率:85.7% 举报

题目条件肯定写错了,应该是f(x+y)=f(x)f(y).
看结论就知道要你证明的是f(x)=e^x,一种办法就是利用函数方程外加连续性逐步解出来,另一种就是直接做.
条件1用来得到
1)f(0)=f(0)^2,结合条件2得到f(0)=1.
2)1=f(x-x)=f(x)f(-x)
条件2是连续性的条件,可以得到
1)lim x->0 f(x)=1=f(0),即f(x)在0点连续.
2) lim x->0 [f(x)-f(0)]/x= lim x->0 g(x)=1,于是f(x)在0点可微且f'(0)=1.
接下来就可以直接证明结论了.
f'(x)
=lim Δx->0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim Δx->0 f(x)[f(x+Δx)f(-x)-1]/Δx
=f(x) lim Δx->0 [f(Δx)-1]/Δx
=f(x)f'(0)
=f(x)

1年前

6

瘾胤 幼苗

共回答了525个问题 举报

这题有问题吧
f(x+y)=f(x)+f(y),得到f(0)=0
f(x)=1+xg(x),而lim x->0 g(x)=1
得到x趋向于0时,f(x)=1
所以不可导

1年前

0
可能相似的问题
Copyright © 2024 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 17 q. 0.029 s. - webmaster@yulucn.com