已知数列{an}的前n项和Sn=n3-10n2（∀n∈N*）．

解题思路：（1）由an＝

S1，n＝1 Sn−Sn−1，n≥2

，由此能求出a_n．
（2）方法一：由（1）得an＝3n2−23n+11＜0，从而得到

23− 397

2×3

＜n＜

23+ 397

2×3

，由此能求出集合{n|a_n＜0，n∈N^*}．
（2）方法二：设f（x）=x³-10x²，x∈[1，+∞），利用导数性质能求出集合{n|a_n＜0，n∈N^*}．

（1）n=1时，a₁=S₁=-9…（1分），
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n³-10n²-[（n-1）³-10（n-1）²]
=3n²-23n+11，…（5分）
n=1时，3n²-23n+11=-9，…（6分）
∀n∈N^*，an＝3n2−23n+11．…（7分）
（2）方法一：由（1）得an＝3n2−23n+11＜0，…（8分）

23−
397
2×3＜n＜
23+
397
2×3…（10分）
∵∀n∈N^*，∴1≤n≤7，…（12分）
∴所求集合{n|an＜0，n∈N*}＝{1，2，3，4，5，6，7}．…（13分）
（2）方法二：设f（x）=x³-10x²，x∈[1，+∞），
则f′（x）=3x²-20x，…（10分）
由f′（x）=3x²-20x＜0，得0＜x＜
20
3，…（11分）
由0＜n−1＜
20
3，
∀n∈N^*得n=2，3，4，5，6，7…（12分），
a₁=S₁=-9＜0，a₈=S₈-S₇=19＞0，
∴{n|an＜0，n∈N*}＝{1，2，3，4，5，6，7}．…（13分）

点评：
本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查集合的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．