斜三棱柱ABC-A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，

解题思路：（1）先判断斜三棱柱ABC-A′B′C′的三个侧面的形状，分别求出面积再相加，即为斜三棱柱的侧面积．
（2）斜三棱柱的体积等于底面积乘高，因为底面三角形是边长为a的正三角形，面积易求，所以只需求出高即可，利用所给线线角的大小即可求出．

（1）∵侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，
∴三棱柱的三个侧面中，四边形ABBA和ACCA是有一个角是45°，相邻两边长分别为a，b的平行四边形，第三个侧面是边长分别为a，b的矩形．
∴s侧=2absib45°+ab=(
2+1)ab
（2）过A₁作A1O垂直于底面ABC，交底面ABC于O点，作A₁D⊥AB，交AB于D点，连接DO，由题意，则
AD=

2b
2，A₁D=

2b
2，∴AO=

6b
3，A₁O=

3b
3
∴V=[1/2]×

3a
2a

3b
3=
1
4a2

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

考点点评： 本题主要考查了斜三棱柱的侧面积与体积的求法，属于立体几何的基础题．