不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于______．

解题思路：根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值．

因为不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设 三角形ABC的两边长为3x，x；
因为 3x×4=12×x（2倍的面积），面积S=6x，
因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x＜第三边长度＜4x，
因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长，
S=第三边的长×高，6x＞[1/2]×2x×高，∴6＞高，
因为是不等边三角形∴高取整数 5．
故答案为：5．

点评：
本题考点： 三角形三边关系；三角形的面积．

考点点评： 本题考查了三角形三边关系及三角形的面积，难度较大，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边差小于第三边．

设长度为4、12的高分别是ab边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，那么
a=2S4，b=2S12，c=2Sh，
又∵a-b＜c＜a+b，
∴2S4-2S12＜c＜2S4+2S12，
即S3＜2Sh＜23S，
解得3＜h＜6，
∴h=4或h=5，
当h=4时，有a=c=2S4，不合题意，舍去．
故h=5．

两边和 大于 第三边 自几 算去吧

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