一道数学关于奇偶性,周期的数学题.

一道数学关于奇偶性,周期的数学题.
若F(X)是定义在R上的偶函数,图像关于X=2对称.当X∈（-2,2）时,F(X)=-x²+1,则当x∈（-6,-2时.F（x）的解析式 我想知道如何求出周期.还有个是偶函数的对称轴是否可以有多个?
吱吱的叫声 1年前 已收到6个回答 举报
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nicole888 花朵

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已知两条对称轴（或两个对称中心,或一个对称中心和一个对称轴）即可求出周期.
F(x)为偶函数,图像关于X=0对称,则F(x)=F(-x)
图像关于X=2对称
则F(2-x)=F(2+x),将x写成t-2,F(t)=F(4-t),即F(x)=F(4-x)
所以,F(-x)=F(4-x),将x写成-x,即F(x)=F(4+x)
所以周期为4
函数的对称轴可以有多个,例如y=cosx

1年前 追问

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吱吱的叫声 举报

我想问一下这一步则F(2-x)=F(2+x)。是由对称轴X=2,为条件，自己构造的吗?

举报 nicole888

类比分析一下，
偶函数，即图像关于X=0对称，则F(x)=F(-x)
相当于F(0+x)=F(0-x)
也就是说，如果自变量到0距离相等，则函数值相等。
自变量到0距离相等的两个数，不就是0+x和0-x吗？
这就是由偶函数推导出F(x)=F(-x)的思想。

对称轴X=2，
也就是说，如果自变量到2距离相等，则函数值相等。
同理，可以得到F(2-x)=F(2+x)。

所以，F(2-x)=F(2+x)等价于对称轴X=2，
就像F(x)=F(-x)等价于偶函数（对称轴X=0）一样。
你可以理解为是构造的。

我想我还是海 幼苗

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画图，一目了然。

偶函数只说明关于x=0对称，至于有没有多个，不确定，可以有多个，也可能只有1个（x＝0这个）。

1年前

2

AXJLMG 幼苗

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有个一般结论：定义在 R 上的函数，如果图像关于直线 x=a 和 x=b (a ≠ b) 对称，则 f(x) 一定是周期函数。
证明：因为函数图像关于直线 x=a 对称，则对任意实数 x 有 f(a-x)=f(a+x) ，
又因为函数图像关于直线 x=b 对称，则对任意实数 x 有 f(b-x)=f(b+x) ，
不妨设 b>a ，则 f(x+2|b-a|)=f(x+2b-...

1年前

1

小猪快跑520 幼苗

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f(x)关于直线x=2对称，即f(2+x)=f(2-x)
即f(-x)=f(4+x)
又f(x)是偶函数，所以
f(x)=f(-x)
所以有f(x)=f(x+4)
所以函数是周期为4的周期函数
当x属于（-6，-2）时，x+4属于（-2，2），
:. f(x+4)=-x^2+1
:. f(x)=-x^2+1
偶函数的对称轴可以...

1年前

1

劳累的人 幼苗

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偶函数的对称轴的个数不一定 y=x²是偶函数，对称轴就一个。而这题也是偶函数，对称轴有无数个。如果是周期函数，且定义域为R，那么对称轴有无数个

1年前

1

sqh196555 幼苗

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F（x）=-（x+4）^2+1 2是对称轴，F（2+x）=F（2-x），令x=x-2，F（x）=F（4-x）=F（x），故周期为4，偶函数可以有多个对称轴，如正弦函数

1年前

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