蓝色西子
幼苗
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如图,以C为原点,CB为x轴,CD为y轴,CG为z轴建立空间直角坐标.
则依题意,有C(0,0,0),B(4,0,0),E(4,2,0),
F(2,4,0),D(0,4,0),G(0,0,2).
(1)CB=(4,0,0),GE=(4,2,-2),
∴|
CB|=4,|
GE|=2
6,
∴cos<
CB,
GE>=
168
6=
63…(4分)
(2)由题意可知,平面BCG的单位法向量a=(0,1,0),
设平面BDG的单位法向量为b=(x,y,z),
∵BG=(-4,0,2),DG=(0,-4,2),b⊥
BG,
b⊥
DG
得x2+y2+z2=1-4x+2z=0-4y+2z=0,∴x=
66y=
66z=
63,或x=-
66y=-
66z=-
63,
取b=(
66,
66,
63)
∴cos<
a,
b>=
a•
b|
a|•|
b|=(0,1,0)•(
66,
66,
63)=
66.…(8分)
(3)∵四边形ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,
∴EF∥BD且EF与BD间的距离为14|AC|=
2,
又|EF|=
12|BD|=2
2
∴S△DEF=
12×2
2×
2=2.
又GC⊥平面ABCD,所以GC为三棱锥G-DEF的高,
∴VD-GEF=VG-DEF=
13S△DEF|CG|=
1年前
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