如图所示,某海域有一信号灯塔A,在以信号塔A为中心的8海里的范围内有暗礁
如图所示,某海域有一信号灯塔A,在以信号塔A为中心的8海里的范围内有暗礁
,有一轮船现向正南方向航行,航行至点B时,测得信号塔A在南偏东β的方向上,又航行了10海里到达点C,测得信号塔A在南偏东γ的方向上,经计算得tanβ=1/3,tanγ=3/4.求：（1）如果船继续向正南方向航行,是否有触礁可能?（2）如果有触角危险,轮船在C点改变方向,向南偏西(CD方向)绕道而行.如果改变的角度至少是α,试求tanα的值.（请写出关键步骤）
赞 ldg4511 幼苗
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(1)如图所示,最小距离为AM,已知BC=10
tanβ=1/3=AM/BM,tanγ=3/4=AM/CM,BM-MC=BC
解得AM=6,（MC=8,BM=18）所以有触礁的可能性
（2）如图所示AN为最小距离,AN≥8时,才不触礁,所以取AN=8时,角度为α,MC=8,
根据已知条件可得AC=根号（MC的平方加AM的平方）=10
NC=根号（AC的平方-AN的平方）=6
所以△ANC和△CMA全等（三边相等）
所以∠NAC=γ
所以α+γ+γ=90°
tanα=tan（90°-2γ）=cot2γ
根据2倍角公式
tan2γ=(2*3/4)/(1-3/4*3/4)=24/7
tanα=1/tan2γ=7/24
tanβ=1/3=AM/BM,tanγ=3/4=AM/CM,BM-MC=BC
解得AM=6,（MC=8,BM=18）所以有触礁的可能性
（2）如图所示AN为最小距离,AN≥8时,才不触礁,所以取AN=8时,角度为α,MC=8,
根据已知条件可得AC=根号（MC的平方加AM的平方）=10
NC=根号（AC的平方-AN的平方）=6
所以△ANC和△CMA全等（三边相等）
所以∠NAC=γ
所以α+γ+γ=90°
tanα=tan（90°-2γ）=cot2γ
根据2倍角公式
tan2γ=(2*3/4)/(1-3/4*3/4)=24/7
tanα=1/tan2γ=7/24
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