如图，已知抛物线y= 1 2 x 2 +bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12）．点B是抛物线上O，A之间的

（1）∵点A（a，12）在直线y=2x上，
∴12=2a，
解得：a=6，
又∵点A是抛物线y=
1
2 x ² +bx上的一点，
将点A（6，12）代入y=
1
2 x ² +bx，可得b=-1，
∴抛物线解析式为y=
1
2 x ² -x．

（2）∵点C是OA的中点，
∴点C的坐标为（3，6），
把y=6代入y=
1
2 x ² -x，
解得：x ₁ =1+
13 ，x ₂ =1-
13 （舍去），
故BC=1+
13 -3=
13 -2．

（3）∵直线OA的解析式为：y=2x，
点D的坐标为（m，n），
∴点E的坐标为（
1
2 n，n），点C的坐标为（m，2m），
∴点B的坐标为（
1
2 n，2m），
把点B（
1
2 n，2m）代入y=
1
2 x ² -x，可得m=
1
16 n ² -
1
4 n，
∴m、n之间的关系式为m=
1
16 n ² -
1
4 n．