如图，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线y=-2x 2 +bx+c (a≠0)经过点A、C.

（1）y=-2x ² +2x+4；（2）Q（0，4）或（1，4）或（ ，-4）或（ ，-4）；（3）存在，点F坐标为（0， ）时，点M的坐标为（ ， ），点F坐标为（0，-4）时，点M的坐标为（4，-4）；点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．


试题分析：1）根据直线y=-2x+4求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）根据抛物线解析式求出点P的坐标，过点P作PD⊥y轴于D，根据点P、C的坐标求出PD、CD，然后根据S _△APC =S _梯形APDO -S _△AOC -S _△PCD ，列式求出△APC的面积，再根据抛物线解析式求出点B的坐标，从而得到AB的长度，然后利用三角形的面积公式求出△ABQ的点Q的纵坐标的值，然后代入抛物线求解即可得到点Q的坐标；
（3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y=-2x+4上，设点M的坐标为（a，-2a+4），然后分①∠EMF=90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE=90°时，根据等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可得解．
试题解析：（1）令x=0，则y=4，
令y=0，则-2x+4=0，解得x=2，
所以，点A（2，0），C（0，4），
∵抛物线y=-2x ² +bx+c经过点A、C，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：y=-2x ² +2x+4；
（2）∵y=-2x ² +2x+4=-2（x- ） ² + ，
∴点P的坐标为（ ， ），
如图，过点P作PD⊥y轴于D，

又∵C（0，4），
∴PD= ，CD= ，
∴S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD，
= ×（ +2）× - ×2×4- × ×
=
= ，
令y=0，则-2x ² +2x+4=0，
解得x ₁ =-1，x ₂ =2，
∴点B的坐标为（-1，0），
∴AB=2-（-1）=3，
设△ABQ的边AB上的高为h，
∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍，
∴ ×3h=4× ，
解得h=4，
∵4＜ ，
∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方，
即点Q的纵坐标为4或-4，
当点Q的纵坐标为4时，-2x ² +2x+4=4，
解得x ₁ =0，x ₂ =1，
此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），
当点Q的纵坐标为-4时，-2x ² +2x+4=-4，
解得x ₁ = ，x ₂ = ，
此时点Q的坐标为（ ，-4）或（ ，-4）
综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（ ，-4）或（ ，-4）；
（3）存在．
理由如下：如图，

∵点M在直线y=-2x+4上，
∴设点M的坐标为（a，-2a+4），
①∠EMF=90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，
∴|a|=|-2a+4|，
即a=-2a+4或a=-（-2a+4），
解得a= 或a=4，
∴点F坐标为（0，