设O为三角形ABC的内心,当AB=4、BC=5、AC=6,向量AO=x向量AB+y向量CB ,求x/y=

证明：如图：连OB、OC、OA,延长AO交BC于点D
因为,点O为内心
所以,∠1=∠2
所以,由角平分线定理：AO/OD=AB/BD
同理：AO/OD=AC/DC
所以,AO/OD=AB/BD=AC/DC=(AB+AC)/(BD+DC)=(AB+AC)/BC=(4+6)/5=2(等比定理)
所以,AO/AD=2/3
所以,向量AO=(2/3)向量AD
又因为AD是△ABC中∠BAC的角平分线
所以,BD/DC=AB/AC=4/6=2/3
所以,BD/BC=2/5
所以,向量BD=(2/5)向量BC
如图：向量AD=向量AB+向量BD=向量AB+(2/5)向量BC
所以,向量AO=(2/3)向量AD=(2/3)[向量AB+(2/5)向量BC]=(2/3)向量AB+(4/15)向量BC
由题知：向量AO=x向量AB+y向量CB
所以,x向量AB+y向量CB=(2/3)向量AB+(4/15)向量BC
所以,(x-2/3)向量AB+(y+4/15)向量CB=0
因为,向量AB和向量CB 不共线
所以,x-2/3=0, y+4/15=0
所以,x=2/3, y=-4/15
所以,x/y=(2/3)/(-4/15)=-5/2

x=7
y=15