当x大于等于5/2时,不等式x^2-2(k+2)x+5+4k》＝0恒成立,求实数k的范围

不知道我的思路对不对,
将上式变形得到x^2-2(k+2)x+(k+2)^2+5+4k-(k+2)^2》0
[x-(k+2)]^2+1-k^2》0
欲证上式x大于等于5/2衡成立
分段讨论(根据对称轴处取值最小)得
(1)当k+2》5/2(约束1)时,x可取到k+2,则只需1-k^2》0(约束2)
结合两个约束得,k取值范围[1/2,1]
(2)当5/2》k+2(约束1),x=5/2为最小,得[5/2-(k+2)]^2+1-k^2》0
(约束2)结合两个约束得,k取值范围[负无穷,1/2]
综上得,1》k