已知双曲线的两条渐近线方程为直线l1：y=-x/2和l2：y=x/2,焦点在y轴上,实轴长为2√3,O为坐标原

1.因为焦点在y轴上,且实轴长为2√3,故可设双曲线方程为y^/(2√3/2)^ -x^/b^=1,即y^/3 -x^/b^=1
而双曲线的渐近线方程是y=±0.5x,所以√3 /b=0.5,b=2√3
所以双曲线方程为y^/3 -x^/12=1
2.因为P1,P2分别在L1:y=-0.5x与L2:y=0.5x上,所以可设两点坐标分别为
P1(x1,-0.5x1),P2(x2,0.5x2)
而原点O的坐标为(0,0),于是可得向量OP1={x1,-0.5x1},向量OP2={x2,0.5x2}
于是向量OM=0.5*{x1+x2,0.5(x2-x1)}={(x1+x2)/2,(x2-x1)/4}
可得出M点坐标为((x1+x2)/2,(x2-x1)/4)
而M在双曲线上,故将M坐标代入双曲线方程：
[(x2-x1)^/4^]/3 - [(x1+x2)^/2^]/12 =1
化简可得到:x1*x2=-12 ①
S△P1OP2=|OP1|*|OP2|*sin∠P1OP2 /2
=(|OP1|*|OP2|*cos∠P1OP2) * tan∠P1OP2 /2
=（向量OP1 点乘 向量OP2）*tan∠P1OP2 /2
=(x1*x2-0.5x1* 0.5x2) *tan∠P1OP2 /2
=(3/8)*x1*x2 *tan∠P1OP2
将 ①式代入,可得：
S△P1OP2=(3/8)*(-12)*tan∠P1OP2=(-9/2)*tan∠P1OP2 ②
故问题的关键为求出∠P1OP2的正切值,需结合图像考虑
前方的 ①式中,x1*x2