不定方程3x2+7xy-2x-5y-17=0的全部正整数解（x，y）的组数为______．

解题思路：首先原方程整理得：y=-

3x2−2x−17

7x−5

，由x，y是正整数，可得当y≥1，一定有：

3x2−2x−17

7x−5

＜0，当x≥1，则7x-5＞0，一定有3x²-2x-17＜0，然后分析x的取值，求得x的范围，继而求得答案．

原方程整理得：y=-
3x2−2x−17
7x−5，
∵x，y是正整数，
∴当y≥1，一定有：
3x2−2x−17
7x−5＜0，
当x≥1，则7x-5＞0，一定有3x²-2x-17＜0，
该不等式整理得：（x-[1/3]）²＜[52/9]，
∴x＜
1+
52
3＜[8+1/3]=3，
∴1≤x＜3，
∴x的正整数解只可能是1或2；
当x=1时，y=8；
当x=2时，y=1．
∴共有2组解．
故答案为：2．

点评：
本题考点： 非一次不定方程（组）．

考点点评： 此题考查了非一次不定方程的知识．此题难度较大，注意由题意可得当y≥1，一定有：3x2−2x−177x−5＜0，当x≥1，则7x-5＞0，一定有3x2-2x-17＜0，是解此题的关键．

3x平方+7xy-2x-5y-17=0,所以Y=(-3x^2+2x+17)/(7x-5)=[-3(x^2-2x/3+1/9)+17+3*1/9]/(7x-5)=[-3(x-1/3)^2+17+1/3]/(7x-5)因为(x-1/3)^2≥0,且X>0,y>0,为正整数所以(7x-5)>0推出-3(x-1/3)^2+17+1/3>0所以(x-1/3)^2<52/9,所以x取值为1,2,3,取Y值,只有当X=1时,Y=8符合题意.