已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（实数a，b，c为常数）的图象过原点，且在x=1处的切线为直线y＝−12．

解题思路：（1）根据函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，可得f（0）=c=0．求导函数，利用在x=1处的切线为直线y＝−

1

2

，即可求得函数f（x）的解析式；
（2）f（x）=x³-[3/2]x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），确定函数的单调性与极大值，将端点函数值与极大值比较，进行分类讨论，即可求得函数f（x）在区间[-m，m]上的最大值．

（1）∵函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的图象过原点，
∴f（0）=c=0，
求导函数可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
∵在x=1处的切线为直线y＝−
1
2．
∴f（1）=1+a+b=-[1/2]，f′（1）=3+2a+b=0，
∴a=-[3/2]，b=0，
∴f（x）=x³-[3/2]x²，
（2）f（x）=x³-[3/2]x²，f′（x）=3x²-3x=3x（x-1），
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函数在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增；在（0，1）上单调递减，
∴函数在x=0处取得极大值0，
令f（x）=x³-[3/2]x²=0，可得x=0或x=[3/2]，
∴0＜m＜[3/2]时，f（m）＜0，函数在x=0处取得最大值0；
m≥[3/2]时，f（m）≥0，函数在x=m处取得最大值m3−
3
2m2．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，解题的关键是明确函数的最值在极值处或端点处取得，注意数形结合思想的运用．

第一个问题：
∵f（x）＝x^3＋ax^2＋bx＋c，∴f′（x）＝3x^2＋2ax＋b，∴f′（1）＝3＋2a＋b。
∵f（x）在x＝1处的切线是y＝－1/2，∴3＋2a＋b＝0。······①
∵f（x）过原点，∴c＝0。
显然，y＝－1/2切f（x）于（1，－1/2），∴1＋a＋b＋c＝－1/2，∴b＝－a－3/2。······②
②代入到①中，得：3...

(1)
f '(x)=3x²+2ax+b
因为 ：在x=1处的切线为直线y=-1/2
所以，x=1是导函数的一个根，
即 3+2a+b=0 .......................... ①
因为f(x)的图像过原点，所以c=0
再次用：在x=1处的切线为直线y=-1/2
原函数过(1,-1/2)
-1/2=1...