微积分：证明数列极限存在和利用数列极限定义证明的两道题目

放缩，然后用夹逼准则得出结论。

放缩：1/(n^2+nπ) ≤1/(n^2+kπ)≤1/(n^2+π)对于任何1≤k≤n都成立

单调有界收敛准则。记其第n项为a_n，则a_(n+1)=根号(2+a_n), 然后利用数学归纳法可得:a_n单增，但有上界2。

显然 a_1=根号2<2，a_2=根号(2+根号2)>根号2，而a_2=根号(2+根号2)<=根号(2+2)=2

设a_(n-1)

一方面，a_(n+1)=根号(2+a_n)>根号(a_n+a_n)=根号(2*a_n)>根号(a_n*a_n)=a_n

另一方面，a_(n+1)=根号(2+a_n)

所以根据数学归纳法可知a_n单增且总小于2，从而收敛。

分子分母同除以x可变为lim(根号(1+1/x^2)/(1+1/x)),然后利用商的极限运算法则即可。

第二个问题: 对于任何ε>0，只要ε<|A|/2，则由lim(u_n)=A可知，存在时刻N，使得当n>N时，总有

|u_n-A|<ε<|A|/2，据此可知u_n与A同号(n>N时)，于是根据绝对值不等式有

||u_n|-|A||≤ |u_n-A|<ε (n>N时)

所以按定义有lim|u_n|=|A|。

反之不然：取u_n=(-1)^n，则|u_n|=1，其极限也为1。但原来的u_n则不存在极限。

第三个问题：分子分母同除以3^n，则容易看到分子的两项极限均为0(公比绝对值小于1的等比极限)；分母的第一项为-2*(-2/3)^n，极限为0；第二项为3，极限也是3。从而分式的极限为0/3=0