已知实数a、b、c、d满足a2+b2=1，c2+d2=2，求ac+bd的最大值．

wblzq 1年前 已收到7个回答 举报
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琪异果 幼苗

共回答了20个问题采纳率：85% 举报

解题思路：首先由等式a2+b2=x2，c2+d2=y2求证xy≥ac+bd．把已知条件代入得到x2y2=（a2+b2）（c2+d2），展开再根据基本不等式证明求解，即可得到结果．

∵（ac+bd）2=（ac）2+（bd）2+2abcd
≤（ac）2+（bd）2+（ad）2+（bc）2
=（a2+b2）（c2+d2）=2，（5分）
∴|ac+bd|≤
2，即−
2≤ac+bd≤
2，（8分）
当且仅当ad=bc，即
c
a＝
d
b＝
2时取最大值
2，
综上ac+bd的最大值为
2．（10分）

点评：
本题考点： 不等式的基本性质；基本不等式．

考点点评： 此题主要考查基本不等式的证明问题，有一定的技巧性，在做题的时候同学们要注意认真分析，才能选择出较容易的方法解题．

1年前

5

马元元 精英

共回答了21805个问题 举报

(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2
(ac+bd)^2≤2
-√2≤ac+bd≤√2
所以最大值是√2

1年前

2

jinqu0820 幼苗

共回答了76个问题 举报


a^2+c^2≥2ac
b^2+d^2≥2bd
a^2+b^2+c^2+d^2≥2(ac+bd)
即
3≥2(ac+bd)
所以
ac+bd≤1.5
所以ac+bd的最大值为1.5

1年前

2

lionxu123 幼苗

共回答了6个问题 举报

ac+bd=（2ac+2bd）/2<=(a^2+c^2+b^2+d^2)/2=2/2=1
故ac+bd最大值为1
望采纳

1年前

1

鹤砚 幼苗

共回答了1个问题 举报

等式一可以求得ab≤1/2。等式二可以求得cd≤1。所以ac+bd的最大值为abcd开根号的2倍的最大值。为1/2。

1年前

1

阿丽巴巴 幼苗

共回答了49个问题 举报

柯西不等式得：
(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2
(ac+bd)^2≤2
-√2≤ac+bd≤√2
所以最大值是√2

1年前

0

疯子_JJ 幼苗

共回答了361个问题 举报

设a=cosx,b=sinx;c=√2cosy,d=√2siny,xy为实数
ac+bd＝√2cosxcosy+√2sinxsiny＝2cos(x+y)
∵-1≤cos(x+y)≤1
∴-2≤ac+bd≤2

1年前

0
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